问题
解答题
设等比数列{an}的前n项和为Sn，a4=a1-9，a5，a3，a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式，
（2）证明：对任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．
答案
（1）设等比数列{an}的公比为q，
则
，解得a1•q3=a1-9 2a1q2=a1q3+a1q4
，a1=1 q=-2
故数列{an}的通项公式为：an=（-2）n-1，
（2）由（1）可知an=（-2）n-1，
故Sk=
=1×[1-(-2)k-1] 1-(-2)
，1-(-2)k-1 3
所以Sk+1=
，Sk+2=1-(-2)k 3
，1-(-2)k+1 3
∴Sk+1+Sk+2=
+1-(-2)k 3
=1-(-2)k+1 3 2-(-2)k-(-2)k+1 3
=
=2-(-2)k(1-2) 3
，2+(-2)k 3
而2Sk=2
=1-(-2)k-1 3
=2-2(-2)k-1 3
=2+(-2)(-2)k-1 3
，2+(-2)k 3
故Sk+1+Sk+2=2Sk，即Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列
