问题 填空题
已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足y=f(x+
π
2
)
为偶函数,对于函数y=f(x)有下列几种描述:
①y=f(x)是周期函数;
y=f(x+
π
2
)
的图象可以由y=f(x)的图象向右平移
π
2
得到;
③(-π,0)是y=f(x)的图象的一个对称中心;
④当x=
π
2
时,y=f(x)一定取最大值.
其中描述正确的是 ______.
答案

∵f(x)是R上的奇函数

∴f(-x)=-f(x)(1)

∵y=f(x+

π
2
)为偶函数,函数的图象关于y轴对称

∴函数y=f(x)关于x=

π
2
对称即f(x)=f(π-x)(2)

由(1)(2)可得f(2π+x)=f(x)故①正确

②y=f(x)

向左平移
π
2
y=f(x+
π
2
),故②错误

③由函数为奇函数可得f(-π)=-f(π)(1);由周期函数可得f(x)=f(x+2π)(2)由(1)(2)可得f(-π)=-f(π)=f(π)=0,从而可知③正确

④x=

π
2
是函数的对称轴,取函数的最值,但不一定是最大值,故④错误

故答案为:①③

判断题
单项选择题