（Ⅰ）因为f（x）在R上是奇函数，

所以f（0）=0，即a-

2

20+1

=0，解得a=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=1-

2

2x+1

，

由y=1-

2

2x+1

得2^x=

y+1

1-y

，

因为x∈R，所以2^x＞0，所以

y+1

1-y

＞0，解得-1＜y＜1，

所以f（x）的值域为（-1，1）．

（Ⅲ）f（x）在R上是增函数，

任取x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．

因为x₁＜x₂，所以2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，

所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．

所以f（x）在R上是增函数．