问题
解答题
已知函数f（x）=x2-2（n+1）x+n2+5n-7．
（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列；
（Ⅱ）设函数y=f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn．
答案
（Ⅰ）证明：∵f（x）=x2-2（n+1）x+n2+5n-7=[x-（n+1）]2+3n-8，
∴an=3n-8，---------（2分）
∴an+1-an=3（n+1）-8-（3n-8）=3，
∴数列{an}为等差数列．---------（4分）
（Ⅱ）由题意知，bn=|an|=|3n-8|，---------（6分）
∴当1≤n≤2时，bn=8-3n，Sn=b1+…+bn=
=n(b1+bn) 2
=n[5+(8-3n)] 2
；----（8分）13n-3n2 2
当n≥3时，bn=3n-8，Sn=b1+b2+b3+…+bn=5+2+1+…+（3n-8）=7+
=(n-2)[1+(3n-8)] 2
．---------（10分）3n2-13n+28 2
∴Sn=
．---------（12分）
，1≤n≤213n-3n2 2
，n≥33n2-13n+28 2