问题
解答题
已知奇函数f（x）=2x+a•2-x，x∈（-1，1）
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性并进行证明；
（3）若函数f（x）满足f（1-m）+f（1-2m）＜0，求实数m的取值范围．
答案
（1）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，1+a=0，∴a=-1．
（2）证明：由（1）可知，f（x）=2x-
．1 2x
任取-1＜x1＜x2＜1，则
f(x1)-f(x2)=(2x1-
)-(2x2-1 2x1
)=(2x1-2x2)-(1 2x2
-1 2x1
)1 2x2 =(2x1-2x2)+(
)=(2x1-2x2)(1+2x1-2x2 2x1+x2
)1 2x1+x2 ∵-1＜x1＜x2＜1，2x1+x2＞0 ∴f(x1)-f(x2)＜0，得f(x1)＜f(x2)
所以，f（x）在（-1，1）上单调递增．
（3）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
由已知f（x）在（-1，1）上是奇函数，
∴f（1-m）+f（1-2m）＜0可化为f（1-m）＜-f（1-2m）=f（2m-1），
又由（2）知f（x）在（-1，1）上单调递增，
∴-1＜1-m＜2m-1＜1，解得
＜m＜1．2 3