问题
解答题
| 已知数列{an}满足：a1=2t，t2-2tan-1+an-1an=0，n=2，3，4，…，（其中t为常数且t≠0）． （1）求证：数列{
（2）求数列{an}的通项公式； （3）设bn=
|
答案
证明：（1）∵t2-2tan-1+an-1an=0，
∴（t2-tan-1）-（tan-1-an-1an）=0，
即t2-tan-1=tan-1-an-1an，
∵t-an-1≠0
∴
| 1 |
| an-t |
| an-1 |
| t(an-1-t) |
| an-1-t+t |
| t(an-1-t) |
| 1 |
| t |
| 1 |
| an-1-t |
即
| 1 |
| an-t |
| 1 |
| an-1-t |
| 1 |
| t |
∴数列{
| 1 |
| an-t |
（2）由（I）得数列{
| 1 |
| an-t |
| 1 |
| t |
∴
| 1 |
| an-t |
| 1 |
| a1-t |
| 1 |
| t |
| n |
| t |
∴an=
| t |
| n |
（3）bn=
| an |
| (n+1)2 |
| ||
| (n+1)2 |
| t |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
∴Sn=b1+b2+…+bn=t[（1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+1 |
| nt |
| n+1 |