问题
解答题
| 已知数列{an}满足：a1=2t，t2-2tan-1+an-1an=0，n=2，3，4，…，（其中t为常数且t≠0）． （1）求证：数列{
（2）求数列{an}的通项公式； （3）设bn=
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答案
证明：（1）∵t2-2tan-1+an-1an=0，
∴（t2-tan-1）-（tan-1-an-1an）=0，
即t2-tan-1=tan-1-an-1an，
∵t-an-1≠0
∴
=1 an-t
=an-1 t(an-1-t)
=an-1-t+t t(an-1-t)
+1 t 1 an-1-t
即
-1 an-t
=1 an-1-t 1 t
∴数列{
}为等差数列；1 an-t
（2）由（I）得数列{
}为等差数列，公差为1 an-t
，1 t
∴
=1 an-t
+1 a1-t
（n-1）=1 t n t
∴an=
+tt n
（3）bn=
=an (n+1)2
=(n+1)t n (n+1)2
=t•(t n(n+1)
-1 n
)1 n+1
∴Sn=b1+b2+…+bn=t[（1-
）+（1 2
-1 2
）+…+（1 3
-1 n
）]=t（1-1 n+1
）=1 n+1 nt n+1