设点An（xn，0），Pn（xn，2n-1）和抛物线Cn：y=x2+anx+bn

问题解答题

设点A_n（x_n，0），P_n（x_n，2^n-1）和抛物线C_n：y=x²+a_nx+b_n（n∈N*），其中a_n=-2-4n-

2n-1

，x_n由以下方法得到：x₁=1，点P₂（x₂，2）在抛物线C₁：y=x²+a₁x+b₁上，点A₁（x₁，0）到P₂的距离是A₁到C₁上点的最短距离，…，点P_n+1（x_n+1，2ⁿ）在抛物线C_n：y=x²+a_nx+b_n上，点A_n（x_n，0）到P_n+1的距离是A_n到C_n上点的最短距离．
（Ⅰ）求x₂及C₁的方程．
（Ⅱ）证明{x_n}是等差数列．

答案

（Ⅰ）由题意得A₁（1，0），C₁：y=x²-7x+b₁，

设点P（x，y）是C₁上任意一点，

则|A₁P|=

(x-1)2+y2

(x-1)2+(x2-7x+b1)2

令f（x）=（x-1）²+（x²-7x+b₁）²

则f'（x）=2（x-1）+2（x²-7x+b₁）（2x-7）

由题意得f'（x₂）=0，

即2（x₂-1）+2（x₂²-7x+b₁）（2x₂-7）=0

又P₂（x₂，2）在C₁上，∴2=x₂²-7x₂+b₁

解得x₂=3，b₁=14

故C₁的方程为y=x²-7x+14

（Ⅱ）设点P（x，y）是C_n上任意一点，

则|A_nP|=

(x-xn)2+y2

(x-xn)2+(x2+anx+bn)2

令g（x）=（x-x_n）²+（x²+a_nx+b_n）²

则g'（x）=2（x-x_n）+2（x²+a_nx+b_n）（2x+a_n）

由题意得g'（x_n+1）=0

即2（x_n+1-x_n）+2（x_n+1²+a_nx+b_n）（2x_n+1+a_n）=0

又∵2ⁿ=x_n+1，∴（x_n+1-x_n）+2ⁿ（2x_n+1+a_n）=0（n≥1），

即（1+2ⁿ⁺¹）x_n+1-x_n+2ⁿa_n=0（*）

下面用数学归纳法证明x_n=2n-1，

①当n=1时，x₁=1，等式成立；

②假设当n=k时，等式成立，即x_k=2k-1，

则当n=k+1时，由（*）知（1+2^k+1）x_k+1-x_k+2^ka_k=0，

又a_k=2-4k-

2k-1

，∴x_k+1=

xk-2kak

1+2k+1

=2k+1，

即n=k+1时，等式成立．

由①②知，等式对n∈N^*成立，

故{x_n}是等差数列．