解．（1）令

3

-(

3

-1)tanx-tan2 x＞0，得-

3

＜tanx＜1，…（2分）

由此可得所求函数的定义域为D={x|kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z}．…（4分）

（2）当x∈D时，tanx∈(-

3

，1)而0＜

3

-(

3

-1)tanx-tan2x=(

3

+tanx)(1-tanx)

≤(

( 3 +tanx)+(1-tanx)

2

)2=1+

3

2

 …（6分）

取等条件是

3

+tanx=1-tanx即tanx=

1- 3

2

，

故f（x）有最大值lg(1+

3

2

)，…（7分）

原不等式等价于lg(1+

3

2

)≤lg(1+sinβ)

∴sinβ≥

3

2

且0≤β≤π

∴

π

3

≤β≤

2π

3

∴

π

6

≤β≤

π

3

…（8分）

又|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

8+8cosβ

=4|cos

β

2

|=4cos

β

2

             …（10分）

当

1

2

β=

π

6

时有最大值2

3

而当

1

2

β=

1

3

π时有最小值2，

故|

a

+

b

|的值域是[2，2

3

]．（12分）