已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左顶点

问题解答题

已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AB，BS与直线l：x=

分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值．

答案

（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），上顶点为D（0，1），

∴a=2，b=1，

故椭圆C的方程为

+y2=1．

（2）直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M(

，

k)．

由

y=k(x+2)

+y2=1

得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．

设S（x₁，y₁），则(-2)•x1=

16k2-4

1+4k2

得x1=

2-8k2

1+4k2

，从而y1=

1+4k2

．

即S(

2-8k2

1+4k2

，

1+4k2

)，又B（2，0）

由

y=-

(x-2)

得

y=-

，∴N(

，-

)，

故|MN|=|

16k

|，

又k＞0，∴|MN|=

≥2

16k

•

．当且仅当

16k

，即k=

时等号成立

∴k=

时，线段MN的长度取最小值

．