设等比数列{an}的首项a1=256，前n项和为Sn，且Sn，Sn+2，Sn+1

问题解答题

设等比数列{a_n}的首项a₁=256，前n项和为S_n，且S_n，S_n+2，S_n+1成等差数列．

（Ⅰ）求{a_n}的公比q；

（Ⅱ）用Π_n表示{a_n}的前n项之积，即Πn=a₁•a₂…a_n，试比较Π₇、Π₈、Π₉的大小．

答案

（Ⅰ）解法一：∵S_n+1=S_n+a_n+1，S_n+2=S_n+a_n+1+a_n+2，

由已知2S_n+2=S_n+S_n+1，…（4分）

得：2（S_n+a_n+1+a_n+2）=S_n+（S_n+a_n+1），∴an+2=-

an+1，∴{a_n}的公比q=-

．…（8分）

解法二：由已知2S_n+2=S_n+S_n+1，…（2分）

当q=1时，S_n+2=（n+2）a₁，S_n+1=（n+1）a₁，S_n=na₁，

则2（n+2）a₁=（n+1）a₁+na₁，⇒a₁=0与{a_n}为等比数列矛盾； …（4分）

当q≠1时，则2•

a1(1-qn+2)

1-q

a1(1-qn)

1-q

a1(1-qn+1)

1-q

，

化简得：2qⁿ⁺²=qⁿ+qⁿ⁺¹，∵qⁿ≠0，∴2q²=1+q，∴q=-

…（8分）

（Ⅱ）∵a1=28， q=-

，则有：a₂=-2⁷，a₃=2⁶，a₄=-2⁵，a₅=2⁴，a₆=-2³，a₇=2²，a₈=-2，a₉=1，…∴Π₇＜0…（11分）Π₈=Π₉＞0…（13分）∴Π₇＜Π₈=Π₉…（14分）