已知数列{an}的前n项和Sn=50n-n2（n∈N*）（1）求证{an}是等差

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和S_n=50n-n²（n∈N^*）
（1）求证{a_n}是等差数列．
（2）设b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n
（3）求

lim

n→∞

（

）的值．

答案

（1）a₁=S₁=49，

因此，当n≥2时有a_n=S_n-S_n-1=50n-n²-50（n-1）+（n-1）²=51-2n

所以a_n=51-2n（n∈N^*）（3分）

∴a_n+1-a_n=-2，

故{a_n}是首项为49，公差为-2的等差数列（6分）

（2）若a_n=51-2n＞0，

则n＜25.5（7分）

设T_n=b₁+b₂+…+b_n，

当n≤25时，

则b_n=a_n，

此时，T_n=S_n=50n-n²；（9分）

当n≥26时，b_n=-a_n，

而b₂₆+b₂₇+…+b_n=-（a₂₆+a₂₇+…+a_n）=-（S_n-S₂₅）

所以 T_n=S₂₅+S₂₅-S_n=2S₂₅-S_n=1250-（50n-n²）=n²-50n+1250

综合所得 Tn=

50n-n2，n≤25

n2-50n+1250，n＞25

(n∈N*)（14分）

（3）

lim

n→∞

（

）

l i m

n→∞

（

50n-n2

n2-50n+1250

）

=-1 （16分）