问题 解答题
若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(1)已知函数f(x)=
x2+mx+m
x
的图象关于点(0,1)对称,求实数m的值;
(2)已知函数g(x)在R上的图象关于点(0,1)对称,且当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2-2x,求函数g(x)在R上的解析式.
答案

(1)∵函数f(x)=

x2+mx+m
x
的图象关于点(0,1)对称,

∴f(x)+f(-x)=2,

即:

x2+mx+m
x
+
x2-mx+m
-x
=2,

解得m=1

(2)x<0时,-x>0,且g(x)+g(-x)=2,

∵当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2-2x,

所以g(x)=2-g(-x)=-x2-2x+2

当x=0时,g(0)+g(-0)=2⇒g(0)=1;

因此g(x)=

-x2-2x+2,x<0
1,x=0
x2-2x,x>0

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