问题
解答题
已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
证明：
（1）函数y=f（x）是R上的减函数；
（2）函数y=f（x）是奇函数．
答案
证明：（1）设x1＞x2，则x1-x2＞0，∴f（x1-x2）＜0，
而f（a+b）=f（a）+f（b），
∴f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）＜f（x2）
∴函数y=f（x）是R上的减函数；
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b）得f（x-x）=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=f（0），而令a=b=0可得f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），即函数y=f（x）是奇函数