设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N

问题解答题

设P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若C的方程为

-y²=1，n=3．点P₁（3，0）及S₃=162，求点P₃的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为y²=2px（p≠0）．点P₁（0，0），对于给定的自然数n，证明：（x₁+p）²，（x₂+p）²，…，（x_n+p）²成等差数列；
（3）若C的方程为

=1（a＞b＞0）．点P₁（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值．

符号意义

本试卷所用符号

等同于《实验教材》符号

向量坐标

={x，y}

=（x，y）

正切

tan

答案

（1）a₁=|OP₁|²=9，由S₃=

（a₁+a₃）=162，得a₃=|OP₃|³=99．

由

-y2=1

x2+ y2=99

得

x2=90

y2=9

∴点P₃的坐标可以为（3

，3）．

（2）对每个自然数k，1≤k≤n，由题意|OP_k|²=（k-1）d，

及

=2pxk

=(k-1)d

即（x_k+p）²=p²+（k-1）d，

∴（x₁+p）²，（x₂+p）²，…（x_n+p）²是首项为p²，公差为d的等差数列．

（3）原点O到二次曲线

C：

=1（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a．

∵a₁=|OP₁|²=a²，∴d＜0，且a_n=|OP_n|²=a²+（n-1）d≥b²，

∴

b2-a2

n-1

≤d＜0．∵n≥3，

n(n-1)

＞0

∴S_n=na²+

n(n-1)

d在[

b2-a2

n-1

，0）上递增，

故S_n的最小值为na²+

n(n-1)

•

b2-a2

n-1

n(a2+b2)

．