问题
解答题
| 设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件： ①对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）； ②当x＞1时，f（x）＜0； ③f（3）=-1 （I）求f（1）和f(
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围． |
答案
（I）∵函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，
对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f（9）+f（
）=f（1）=0，1 9
得f（
）=2．1 9
（II）设0＜x1＜x2＜+∞，由条件（1）可得f（x2）-f（x1）=f（
），x2 x1
因
＞1，由（2）知f（x2 x1
）＜0，x2 x1
所以f（x2）＜f（x1），
即f（x）在R+上是递减的函数．
由条件（1）及（I）的结果得：f[x（2-x）]＜f（
），1 9
由函数f（x）在R+上的递减性，得：
，x＞0 2-x＞0 x(2-x)＞ 1 9
由此解得x的范围是（1-
，1+2 2 3
）．2 2 3