问题
解答题
已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列．又bn=
（Ⅰ）证明{bn}为等比数列； （Ⅱ）如果无穷等比数列{bn}各项的和S=
（注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前项和的极限） |
答案
（1）证明：设{an}中首项为a1，公差为d．
∵lga1，lga2，lga4成等差数列∴2lga2=lga1+lga4∴a22=a1•a4．
即（a1+d）2=a1（a1+3d）∴d=0或d=a1．
当d=0时，an=a1，bn=
=1 a2n
，∴1 a1
=1，∴{bn}为等比数列；bn+1 bn
当d=a1时，an=na1，bn=
=1 a2n
，∴1 2na1
=bn+1 bn
，∴{bn}为等比数列．1 2
综上可知{bn}为等比数列．
（2）∵无穷等比数列{bn}各项的和S=
．1 3
∴|q|＜1，由（1）知，q=
，d=a1．bn=1 2
=1 a2n 1 2na1
∴S=
=b1 1-q
=1 a2 1-q
=1 2a1 1- 1 2
=1 a1
，∴a1=3．1 3
∴
．a1=3 d=3