问题
解答题
已知：函数f(x)=
（1）求a，b的值； （2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求出数列{an}的通项公式． （3）是否存在这样的数列{bn}满足：{bn}为{an}的子数列（即{bn}中的每一项都是{an}的项）且{bn}为无穷等比数列，它的各项和为
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答案
（1）f(2)=
⇒2 3
=2 2a+b
（1分）2 3
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以
=x即ax2+(b-1)x=0有唯一根，（1分）x ax+b
∴△=（b-1）2=0，（1分）
b=1 a=1 （1分）
有 b=1 a=1 得：方程的根为：x=0（1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
解法二：
=x x ax+b
x（
-1）=0（1分） 1 ax+b
x1=0，因为方程有唯一的根（1分）
即：
-1=0的根也是x=0，（1分）1 ax+b
得b=1 a=1 （1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
（2）an=
⇒an-1 an-1+1
-1 an
=1 （2分）1 an-1
∴{
}为等差数列 （1分） 1 an
∴
=1 an
+(n-1)×1=n （2分）1 a1
所以 an=
（1分）1 n
（3）设{bn} 的首项为
，公比为q （m∈N*，1 m
∈N* ）（1分）1 q
所以这个无穷等比数列的各项和为：
=1 m 1-q
，（1分）1 2
=1-q；当m=3 时，q=2 m
，bn=(1 3
)n；1 3
当m=4时，q=
bn=(1 2
)n+1 （2分）1 2
若当m=1，m=2 时，显然不符合条件．
m＞4，则0＜
＜2 m
∴1 2
＜q＜1⇒1＜1 2
＜2 与1 q
∈N* 矛盾．1 q
∴只有两个符合条件的数列．（2分）