问题
解答题
设f（x）是定义在集合D上的函数，若对集合D中的任意两数x1，x2恒有f(
（1）试判断f（x）=x2是否是其定义域上的β函数？ （2）设f（x）是定义在R上的奇函数，求证：f（x）不是定义在R上的β函数． （3）设f（x）是定义在集合D上的函数，若对任意实数α∈[0，1]以及集合D中的任意两数x1，x2恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），则称f（x）是定义在D上的α-β函数．已知f（x）是定义在R上的α-β函数，m是给定的正整数，设an=f（n），n=1，2，3…m且a0=0，am=2m，记∫=a1+a2+a3+…+am，对任意满足条件的函数f（x），求∫的最大值． |
答案
（1）∵f(
x1+1 4
x2)-[3 4
f(x1)+1 4
f(x2)]=(3 4
x1+1 4
x2)2-(3 4
x12+1 4
x22)=-3 4
x12-3 16
x22+7 16
x1x23 8
=-
(x1-x2)2-3 16
x22＜05 8
∴对定义域中的任意两数x1，x2恒有f(
x1+1 4
x2)＜3 4
f(x1)+1 4
f(x2)成立，3 4
∴f（x）=x2是其定义域上的β函数；
（2）证明：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0
∴x1=x2=0时，f(
×0+1 4
×0)=3 4
f(0)+1 4
f(0)3 4
∴f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）（Ⅱ） 对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α=
∈[0，1]，n m
∵f（x）是R上的α-β函数，an=f（n），且a0=0，am=2m，
∴an=f（n）=f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）=
×2m=2n；n m
那么∫=a1+a2+…+am≤2×（1+2+…+m）=m2+m．
可知f（x）=2x是α-β函数，且使得an=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时∫=m2+m．
综上所述，∫的最大值为m2+m．