问题
解答题
| 设数列{an}的通项是关于x的不等式x2-x＜（2n-1）x（n∈N′）的解集中整数的个数． （1）求an并且证明{an}是等差数列； （2）设m、k、p∈N*，m+p=2k，求证：
（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． |
答案
（1）不等式x2-x＜（2n-1）x即x（x-2n）＜0
解得：0＜x＜2n，其中整数有2n-1个
∴an=2n-1，
由通项公式可得：an-an-1=2，
∴数列{an}是等差数列；
（2）由（1）知Sn=
=n2，n(1+2n-1) 2
∴Sm=m2，Sp=p2，Sk=k2．
由
+1 Sm
-1 Sp
=2 Sk
+1 m2
-1 p2
=2 k2 k2(m2+p2)-2m2p2 m2p2k2
≥
=0，2mp•mp-2m2p2 m2p2k2
即
+1 Sm
≥1 Sp
；2 Sk
（3）结论成立，证明如下：
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则Sn=na1+
d=n(n-1) 2
，n(a1+an) 2
∵Sm+Sp-2Sk=ma1+
d+pa1+m(m-1) 2
d-[2ka1+k(k-1)d]=(m+p)a1+p(p-1) 2
d-[2ka1+(k2-k)d]，m2+p2-(m+p) 2
把m+p=2k代入上式化简得Sm+Sp-2Sk=
•d=m2+p2-2×(
)2m+p 2 2
≥0，(m-p)2d 4
∴Sm+Sp≥2Sk．
又Sm•Sp=
=mp(a1+am)(a1+ap) 4 mp[
+a1(am+ap)+am•ap]a 21 4
≤
=(
)2[m+p 2
+2a1•ak+(a 21
)2]am+ap 2 4
=k2(
+2a1ak+a 21
)a 2k 4
=(k2(a1+ak)2 4
)2，Sk 2
∴
+1 Sm
=1 Sp
≥Sm+Sp SmSp
=2Sk (
)2Sk 2
．2 Sk
故原不等式得证．