问题 解答题
若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(Ⅰ)已知函数f(x)=
x2+mx+m
x
的图象关于点(0,1)对称,求实数m的值;
(Ⅱ)已知函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,且当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2+ax+1,求函数g(x)在(-∞,0)上的解析式;
(Ⅲ)在(Ⅰ)、(Ⅱ)的条件下,当t>0时,若对任意实数x∈(-∞,0),恒有g(x)<f(t)成立,求实数a的取值范围.
答案

(Ⅰ)由题设,∵函数f(x)=

x2+mx+m
x
的图象关于点(0,1)对称,

∴f(x)+f(-x)=2,

x2+mx+m
x
+
x2-mx+m
-x
=2

∴m=1…(4分)

(Ⅱ)∵函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,

∴g(x)+g(-x)=2,

∵当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2+ax+1,

∴当x<0时,g(x)=2-g(-x)=-x2+ax+1…(8分)

(Ⅲ)由(Ⅰ)得f(t)=t+

1
t
+1(t>0),其最小值为f(1)=3

g(x)=-x2+ax+1=-(x-

a
2
)2+1+
a2
4
,…(10分)

①当

a
2
<0,即a<0时,g(x)max=1+
a2
4
<3
,∴a∈(-2
2
,0)
…(12分)

②当

a
2
≥0,即a≥0时,g(x)max<1<3,∴a∈[0,+∞)…(13分)

由①、②得a∈(-2

2
,+∞)…(14分)

单项选择题
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