若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称. (Ⅰ)已知函数f(x)=
(Ⅱ)已知函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,且当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2+ax+1,求函数g(x)在(-∞,0)上的解析式; (Ⅲ)在(Ⅰ)、(Ⅱ)的条件下,当t>0时,若对任意实数x∈(-∞,0),恒有g(x)<f(t)成立,求实数a的取值范围. |
(Ⅰ)由题设,∵函数f(x)=
的图象关于点(0,1)对称,x2+mx+m x
∴f(x)+f(-x)=2,
∴
+x2+mx+m x
=2x2-mx+m -x
∴m=1…(4分)
(Ⅱ)∵函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,
∴g(x)+g(-x)=2,
∵当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2+ax+1,
∴当x<0时,g(x)=2-g(-x)=-x2+ax+1…(8分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)得f(t)=t+
+1(t>0),其最小值为f(1)=31 t
g(x)=-x2+ax+1=-(x-
)2+1+a 2
,…(10分)a2 4
①当
<0,即a<0时,g(x)max=1+a 2
<3,∴a∈(-2a2 4
,0)…(12分)2
②当
≥0,即a≥0时,g(x)max<1<3,∴a∈[0,+∞)…(13分)a 2
由①、②得a∈(-2
,+∞)…(14分)2