问题
解答题
| 若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称． （Ⅰ）已知函数f(x)=
（Ⅱ）已知函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x2+ax+1，求函数g（x）在（-∞，0）上的解析式； （Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，当t＞0时，若对任意实数x∈（-∞，0），恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围． |
答案
（Ⅰ）由题设，∵函数f(x)=
的图象关于点（0，1）对称，x2+mx+m x
∴f（x）+f（-x）=2，
∴
+x2+mx+m x
=2x2-mx+m -x
∴m=1…（4分）
（Ⅱ）∵函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，
∴g（x）+g（-x）=2，
∵当x∈（0，+∞）时，g（x）=x2+ax+1，
∴当x＜0时，g（x）=2-g（-x）=-x2+ax+1…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得f(t)=t+
+1(t＞0)，其最小值为f（1）=31 t
g(x)=-x2+ax+1=-(x-
)2+1+a 2
，…（10分）a2 4
①当
＜0，即a＜0时，g(x)max=1+a 2
＜3，∴a∈(-2a2 4
，0)…（12分）2
②当
≥0，即a≥0时，g（x）max＜1＜3，∴a∈[0，+∞）…（13分）a 2
由①、②得a∈(-2
，+∞)…（14分）2