问题
解答题
设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn=
（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）； （2）若{bn}是等差数列，证明：c=0． |
答案
证明：（1）若c=0，则an=a1+（n-1）d，Sn=
，bn=n[(n-1)d+2a] 2
=nSn n2
．(n-1)d+2a 2
当b1，b2，b4成等比数列时，则b22=b1b4，
即：(a+
)2=a(a+d 2
)，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a．3d 2
因此：Sn=n2a，Snk=(nk)2a=n2k2a，n2Sk=n2k2a．
故：Snk=n2Sk（k，n∈N*）．
（2）bn=
=nSn n2+c n2 (n-1)d+2a 2 n2+c
=n2
+c(n-1)d+2a 2
-c(n-1)d+2a 2 (n-1)d+2a 2 n2+c
=
-(n-1)d+2a 2
． ①c (n-1)d+2a 2 n2+c
若{bn}是等差数列，则{bn}的通项公式是bn=An+B型．
观察①式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：
=0，即cc (n-1)d+2a 2 n2+c
=0，而(n-1)d+2a 2
≠0，(n-1)d+2a 2
故c=0．
经检验，当c=0时{bn}是等差数列．