问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求f（x）的表达式； （2）n≥2，n∈N时，求证：[f（1）-1]|[f（22）-22]+…+[f（n2）-n2]＜2； （3）对n≥2，n∈N，x＞0，求证[f（x）]n-f（xn）≥2n-2． |
答案
∵f（x）图象关于原点对称
∴f（x）是奇函数，代入特值，f（1）=-f（-1），求得c=0
∴f(x)=x2+1 x
（2）∵n≥2，n∈N
∴f(n2)-n2=
＜1 n2
=1 (n-1)n
-1 n-1
(n≥2)1 n
∴[f(1)-1]+…+[f(n2)-n2]＜1+(1-
)+(1 2
-1 2
)+…+(1 3
-1 n-1
)＜21 n
（3）[f(x)]n-f(xn)=(x+
)n-(xn+1 x
)1 xn
=
xn-1C 1n
+1 x
xn-2(C 2n
)2+…+1 x
x(C n-1n
)n-11 x
=
[(1 2
xn-1C 1n
+1 x
x(C n-1n
)n-1)+(1 x
xn-2(C 2n
)2+1 x
x2(C n-2n
)n-1)+…+(1 x
x(C n-1n
)n-1+1 x
xn-1(C 1n
))]1 x
≥
[1 2
2C n1 xn-1
x(1 x
)n-1 +1 x
•2C n2
+…+xn-2
x2(1 x 2
) n-21 x
•2C nn-1
]=2n-2(
) n-1x n-11 x
∴[f（x）]n-f（xn）≥2n-2．