已知各项均为正数的数列{an}满足an+12-an+1an-2an2=0，且a3

问题解答题

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog

an，Sn=b1+b2+…+bn，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

答案

（Ⅰ）∵a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，

∵数列{a_n}的各项均为正数，

∴a_n+1+a_n＞0，

∴a_n+1-2a_n=0，

即a_n+1=2a_n，所以数列{a_n}是以2为公比的等比数列．

∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，

∴a₂+a₄=2a₃+4，

∴2a₁+8a₁=8a₁+4，

∴a₁=2，

∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）及b_n=anlog

an得，b_n=-n•2ⁿ，

∵S_n=b₁+b₂++b_n，

∴S_n=-2-2•2²-3•2³-4•2⁴--n•2ⁿ①

∴2S_n=-2²-2•2³-3•2⁴-4•2⁵--（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹②

①-②得，S_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2，

要使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立，只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，即2ⁿ⁺¹＞52，

∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值为5．