（1）由f（x）为奇函数得f（-x）+f（x）=0，即

bx+c

ax2+1

+

-bx+c

ax2+1

=0

∴c=0．

 又a＞0，b是自然数，

∴当x＜0时，f（x）＜0，

 当x＞0时，f（x）＞0，

故f（x）的最大值

1

2

必在x＞0时取得；

当x＞0时，f（x）=

bx

ax2+1

=

b

ax+ 1 x

≤

b

2 a

当且仅当ax=

1

x

，即x=

1

a

时取得

b

2 a

=

1

2

，即a=b²

又f（1）＞

2

5

∴2b²-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，

1

2

＜b＜2又a＞0，b是自然数可得a=b=1，

∴f（x）=

x

x2+1

（2）假设存在直线l与y=f（x）的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，

设P（x₀，y0）则Q（2-x₀，-y₀）所以

x0 x02+1 =y0 2-x0 (2-x0)2+1 =-y0

消去y₀，得x₀²-2x₀-1=0

解得：x₀=1±

2

，所以P点坐标为（1+

2

，

2

4

）或（1-

2

，-

2

4

），故对应Q点的坐标为（1-

2

，-

2

4

）或（1+

2

，

2

4

）

故过于P、Q两点的直线方程为：x-4y-1=0