已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若（a2-1）3+2010（a2-1）=1

问题填空题

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若（a₂-1）³+2010（a₂-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=-1，则下列四个命题中真命题的序号为______．

①S₂₀₀₉=2009；②S₂₀₁₀=2010；③a₂₀₀₉＜a₂；④S₂₀₀₉＜S₂．

答案

由（a₂-1）³+2010（a₂-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=-1

可得a₂-1＞0，-1＜a₂₀₀₉-1＜0即a₂＞1，0＜a₂₀₀₉＜1，从而可得等差数列的公差d＜0

③a₂₀₀₉＜a₂正确

把已知的两式相加可得（a₂-1）³+2010（a₂-1）+（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=0

整理可得（a₂+a₂₀₀₉-2）•[（a₂-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₂-1）（a₂₀₀₉-1）+2010]=0

结合上面的判断可知（a₂-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₂-1）（a₂₀₀₉-1）+2010＞0

所以a₂+a₂₀₀₉=2，而s2010=

a1+a2010

×2010=2010×

a2+a2009

=2010②正确

由于d＜0，a₂₀₁₀＜a₂₀₀₉＜1，则S₂₀₀₉=S₂₀₁₀-a₂₀₁₀=2010-a₂₀₁₀＞2009①错误

由公差d＜0 可得a₂+a₂₀₀₈＞a₂+a₂₀₀₉＞a₂+a₂₀₁₀，结合等差数列的列的性质，可得2a₁₀₀₅＞2＞2a₁₀₀₆

从而可得0＜a₁₀₀₆＜1＜a₁₀₀₅

④s₂₀₀₉-s₂=a₃+a₄+…+a_{2009=2007a₁₀₀₆}＞0，故④错误

故答案为：②③