问题
填空题
已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+
①函数f（x）是周期函数； ②函数f（x）的图象关于点（-
③函数f（x）是偶函数； ④函数f（x）在R上是单调函数． 在上述四个命题中，正确命题的序号是______（写出所有正确命题的序号） |
答案
对于①：∵f（x+3）=-f（x+
）=f（x）∴函数f（x）是周期函数且其周期为3．①对3 2
对于②：∵y=f（x-
）是奇函数∴其图象关于原点对称3 4
又∵函数f（x）的图象是由y=f（x-
）向左平移3 4
个单位长度得到．3 4
∴函数f（x）的图象关于点（-
，0）对称，故②对．3 4
对于③：由②知，对于任意的x∈R，都有f（-
-x）=-f（-3 4
+x），用3 4
+x换x，可得：f（-3 4
-x）+f（x）=03 2
∴f（-
-x）=-f（x）=f（x+3 2
）对于任意的x∈R都成立．3 2
令t=
+x，则f（-t）=f（t），∴函数f（x）是偶函数，③对．3 2
对于④：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）在R上不是单调函数，④不对．
故答案为：①②③．
