已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F

问题解答题

已知双曲线C：

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为

．
（I）求a，b；
（II）设过F₂的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF₁|=|BF₁|，证明：|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比数列．

答案

（I）由题设知

=3，即

b2+a2

=9，故b²=8a²

所以C的方程为8x²-y²=8a²

将y=2代入上式，并求得x=±

a2+

，

由题设知，2

a2+

，解得a²=1

所以a=1，b=2

（II）由（I）知，F₁（-3，0），F₂（3，0），C的方程为8x²-y²=8 ①

由题意，可设l的方程为y=k（x-3），|k|＜2

代入①并化简得（k²-8）x²-6k²x+9k²+8=0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则x₁≤-1，x₂≥1，x₁+x₂=

6k2

k2-8

，x1x2=

9k2+8

k2-8

，于是

|AF₁|=

(x1+3)2+y1 2

(x1+3)2+8x1 2-8

=-（3x₁+1），

|BF₁|=

(x2+3)2+y2 2

(x2+3)2+8x2 2-8

=3x₂+1，

|AF₁|=|BF₁|得-（3x₁+1）=3x₂+1，即x1+x2=-

故

6k2

k2-8

，解得k2=

，从而x1x2=

9k2+8

k2-8

由于|AF₂|=

(x1-3)2+y1 2

(x1+3)2+8x1 2-8

=1-3x₁，

|BF₂|=

(x2-3)2+y2 2

(x2+3)2+8x2 2-8

=3x₂-1，

故|AB|=|AF₂|-|BF₂|=2-3（x₁+x₂）=4，|AF₂||BF₂|=3（x₁+x₂）-9x₁x₂-1=16

因而|AF₂||BF₂|=|AB|²，所以|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比数列