问题 解答题
已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为
6

(I)求a,b;
(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.
答案

(I)由题设知

c
a
=3,即
b2+a2
a2
=9,故b2=8a2

所以C的方程为8x2-y2=8a2

将y=2代入上式,并求得x=±

a2+
1
2

由题设知,2

a2+
1
2
=
6
,解得a2=1

所以a=1,b=2

2

(II)由(I)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8    ①

由题意,可设l的方程为y=k(x-3),|k|<2

2
代入①并化简得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1≤-1,x2≥1,x1+x2=

6k2
k2-8
x1x2=
9k2+8
k2-8
,于是

|AF1|=

(x1+3)2+y1 2
=
(x1+3)2+8x1 2-8
=-(3x1+1),

|BF1|=

(x2+3)2+y2 2
=
(x2+3)2+8x2 2-8
=3x2+1,

|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=-

2
3

6k2
k2-8
=-
2
3
,解得k2=
4
5
,从而x1x2=
9k2+8
k2-8
=-
19
9

由于|AF2|=

(x1-3)2+y1 2
=
(x1+3)2+8x1 2-8
=1-3x1

|BF2|=

(x2-3)2+y2 2
=
(x2+3)2+8x2 2-8
=3x2-1,

故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2||BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16

因而|AF2||BF2|=|AB|2,所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列

单项选择题
单项选择题