已知虚数z1，z2是方程x2-4x+m2-3m=0，m∈R的两根，且满足|z1|

问题解答题

已知虚数z₁，z₂是方程x²-4x+m²-3m=0，m∈R的两根，且满足|z₁|=

．
（1）求实数m的值；
（2）设虚数z₁，z₂对应为F₁，F₂，求以F₁，F₂为焦点且过原点的椭圆的焦距，长轴的长和短轴的长．

答案

（1）由题意，设z₁=a+bi，则z₂=a-bi（a，b∈R）

则

z1+z2=4

z1•z2=m2-3m

，即

a+a=4

a2+b2=m2-3m

，

由|z₁|=

得，即a²+b²=5，代入上式得，

a=2

b=±1

，且m²-3m-5=0，

解得m=

3±

，

（2）由（1）得，z₁=2+i，则z₂=2-i，

∴z₁，z₂对应为F₁（2，1）、F₂（2，-1），

则以F₁，F₂为焦点的椭圆的焦距2c=2，则c=1

又∵椭圆过原点，

∴2a=

22+12

22+(-1)2

，得a=

，

则b=

a2-c2

=2，

综上，椭圆的焦距，长轴的长和短轴的长分别为：2、2

、4．