已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），且离心率

问题解答题

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（

，0），且离心率e=

．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求

|AB|2+

d2的最大值．

答案

（I）由题意，c=

由e=

，可得a=2

∴b²=a²-c²=1

∴椭圆C的标准方程为

+y2=1；

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性，可得点M在x轴上，且与O点不重合，显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件；

故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），代入椭圆方程可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0

∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

∴M（-

4km

1+4k2

，

1+4k2

）

∵M，O，P三点共线，

∴k_OM=k_OP

∴2m=-4km

∵m≠0，∴k=-

此时方程为x²-2mx+2m²-2=0

由△＞0，可得-

＜m＜

，且x₁+x₂=2m，x₁x₂=2m²-2

∴|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=10-5m²

∵d=

2|2-m|

∴

|AB|2+

d2=-2（m+1）²+12

∵-

＜m＜

∴m=-1时，

|AB|2+

d2的最大值为12．