问题
解答题
已知数列{an}中，a1=0，an+1=
（1）求证：{
（2）假设对于任意的正整数m、n，都有|bn-bm|＜ω，则称该数列为“ω域收敛数列”．试判断：数列bn=an•(-
|
答案
证：（1）因为
=1 an+1-1
=1
-11 2-an
=-1+2-an an-1
，1 an-1
所以
-1 an+1-1
=-1，n∈N*；1 an-1
故{
}是等差数列．1 an-1
由此可得，
=1 an-1
+(n-1)×(-1)=-n，1 a1-1
所以an=1-
=1 n
，n∈N*．n-1 n
（2）由条件bn=an•(-
)n，4 5
可知当n=2k，bn＞0；当n=2k-1时，bn≤0，k∈N*．
令|bn|=an•(
)n，则|bn+1|-|bn|=4 5
•(n n+1
)n+1-4 5
•(n-1 n
)n=(4 5
)n[4 5
•4 5
-n n+1
]=(n-1 n
)n•4 5
．-n2+5 5n(n+1)
∴当-n2+5＞0⇒n≤2时，|bn+1|＞|bn|；
同理可得，当-n2+5＜0⇒n≥3时，|bn+1|＜|bn|；
即数列{|bn|}在n=1，2，3时递增；n≥4时，递减；
即|b3|是数列{|bn|}的最大项．
然而，因为{bn}的奇数项均为-|bn|，故b3=-
•(2 3
)3=-4 5
为数列{bn}的最小项；128 375
而b2=
(1 2
)2=4 5
=0.32，b4=8 25
•(3 4
)4=4 5
=0.3072，192 625
所以b2＞b4，故b2是数列{bn}的最大项．
∴对任意的正整数m、n，|bn-bm|≤|b2-b3|=|
+8 25
|=128 375
＜248 375
，2 3
∴数列bn=an•(-
)n，n∈N*是一个“4 5
域收敛数列”．2 3