问题
解答题
| 已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（≥2，且n∈N*） （1）求证：数列{
（2）求数列{an}的通项公式； （3）设数列{an}的前n项之和Sn，求证：
|
答案
（1）证明：∵an=2an-1+2n（≥2，且n∈N*）
∴
=an 2n
+1an-1 2n-1
∴
-an 2n
=1an-1 2n-1
∴数列{
}是以an 2n
为首项，1为公差的等差数列；1 2
（2）由（1）得
=an 2n
+(n-1)•1=n-1 2 1 2
∴an=(n-
)•2n；1 2
（3）∵Sn=
•21+1 2
•22+…+(n-3 2
)•2n1 2
∴2Sn=
•22+1 2
•23+…+(n-3 2
)•2n+11 2
两式相减可得-Sn=1+22+23+…+2n-(n-
)•2n+1=（3-2n）•2n-31 2
∴Sn=（2n-3）•2n+3＞（2n-3）•2n
∴
＞2n-3．Sn 2n