已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=-g(x)

问题解答题

已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=

-g(x)+n

2g(x)+m

是奇函数．
（1）确定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

答案

（1）∵指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，

∴g（x）=2^x；

（2）由（1）知：f（x）=

-2x+n

2x+1+m

是奇函数．

因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即

n-1

2+m

=0，∴n=1；

∴f（x）=

-2x+1

2x+1+m

，又由f（1）=-f（-1）知

1-2

4 +m

1 +m

，∴m=2；

（3）由（2）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

2x+1

，

易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．

又因f（x）是奇函数，从而不等式：

f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），

因f（x）为减函数，由上式推得：t²-2t＞k-2t²，

即对一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，

从而判别式△=4+12k＜0，解得：k＜-

．