问题
解答题
已知函数f(x)=
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若（et+2）x2+etx+et-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）； （Ⅲ）求证：对任意正数a、b、λ、μ，恒有f[(
|
答案
（Ⅰ）f′(x)=
=-2x(1+x+x2)-(2x+1)(1-x2) (1+x+x2)2 -[x-(-2+
)]•[x-(-2-3
)]3 (1+x+x2)2
∴f（x）的增区间为(-2-
，-2+3
)，f（x）减区间为(-∞，-2-3
)和(-2+3
，+∞)．3
极大值为f(-2+
)=3
，极小值为f(-2-2 3 3
)=-3
．…4分2 3 3
（Ⅱ）原不等式可化为et≥
由（Ⅰ）知，|x|≤1时，f（x）的最大值为2(1-x2) 1+x+x2
．2 3 3
∴
的最大值为2(1-x2) 1+x+x2
，由恒成立的意义知道et≥4 3 3
，从而t≥ln4 3 3
…8分4 3 3
（Ⅲ）设g(x)=f(x)-x=
-x(x＞0)1-x2 1+x+x2
则g′(x)=f′(x)-1=
-1=--(x2+4x+1) (1+x+x2)2
．x4+2x3+4x2+6x+2 (1+x+x2)2
∴当x＞0时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上是减函数，
又当a、b、λ、μ是正实数时，(
)2-λa+μb λ+μ
=-λa2+μb2 λ+μ
≤0λμ(a-b)2 (λ+μ)2
∴(
)2≤λa+μb λ+μ
．λa2+μb2 λ+μ
由g（x）的单调性有：f[(
)2]-(λa+μb λ+μ
)2≥f(λa+μb λ+μ
)-λa2+μb2 λ+μ
，λa2+μb2 λ+μ
即f[(
)2]-f(λa+μb λ+μ
)≥(λa2+μb2 λ+μ
)2-λa+μb λ+μ
．…12分λa2+μb2 λ+μ