已知函数f（x）=x4-2ax2．（I）求证：方程f（x）=1有实根；（II

问题解答题

已知函数f（x）=x⁴-2ax²．

（I）求证：方程f（x）=1有实根；

（II）h（x）=f（x）-x在[0，1]上是单调递减的，求实数a的取值范围；

（III）当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f′（x）|＞1的解集为空集，求所有满足条件的实数a的值．

答案

（I）要证x⁴-2ax²=1的实根，

设t=x²，也就是证明方程t²-2at=1有非负实数根．

而△=4a²+4＞0，故可设t²-2at-1=0的两根为t₁，t₂．

t₁t₂=-1，∴t₁，t₂一正一负，

∴方程有正根

∴方程f（x）=1有实根；

（II）由题设知对任意的x∈[0，1]时，

h′（x）=f′（x）-1=4x³-4ax-1≤0恒成立，

x=0时显然成立；

对任意的0＜x≤1，a≥x²-

，∴a≥（x²-

）max

而g（x）=x²-

在（0，1]上单调增，

∴a≥f（1）=

，

∴a的取值范围为[

，+∞）．

（III）由题设知，当x∈[0，1]时，|4x³-4ax|≤1恒成立

记F（x）=4x³-4ax

若a≤0则F（1）=4-4a≥4，不满足条件；

若a＞0则F′（x）=12x²-4a=12（x-

）（x+

）

①当

＜1即0＜a＜3时，F（x）在[0，

]上递减，在[

，1]上递增，

于是，|F（x）|max=max{-F（

），F（1）}=max{

，4-4a}≤1

解之得：a=

②当

≥1即a≥3时，F（x）在[0，1]上递减，于是|F（x）|max=-F（1）=4-4a≥8，与题意矛盾．

综上所述：a=

．