问题 解答题

定义在实数集R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是单调递增函数.

(1)试判断并证明f(x)在(-∞,0)上的单调性;

(2)若f(1)<f(lgx),求x的取值范围.

答案

(1)f(x)在(-∞,0)是单调减函数(2分)

设x1<x2<0,则-x1>-x2>0,

∵f(x)在(0,+∞)是单调增函数

∴f(-x1)>f(-x2),

又∵f(x)是偶函数,

∴f(x1)>f(x2

∴f(x)在(-∞,0)是单调减函数(8分)

(2)由f(x)是偶函数,

f(1)<f(|lgx|)又f(x)是(0,+∞)上的单调增函数

∴|lgx|>1;(11分)

∴lgx>1或lgx<-1

∴x>10或0<x<

1
10
为所求x的取值范围.(14分)

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