问题
解答题
定义在实数集R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是单调递增函数.
(1)试判断并证明f(x)在(-∞,0)上的单调性;
(2)若f(1)<f(lgx),求x的取值范围.
答案
(1)f(x)在(-∞,0)是单调减函数(2分)
设x1<x2<0,则-x1>-x2>0,
∵f(x)在(0,+∞)是单调增函数
∴f(-x1)>f(-x2),
又∵f(x)是偶函数,
∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)在(-∞,0)是单调减函数(8分)
(2)由f(x)是偶函数,
f(1)<f(|lgx|)又f(x)是(0,+∞)上的单调增函数
∴|lgx|>1;(11分)
∴lgx>1或lgx<-1
∴x>10或0<x<
为所求x的取值范围.(14分)1 10