问题 解答题
若f(x0)是函数f(x)在点x0附近的某个局部范围内的最大(小)值,则称f(x0)是函数f(x)的一个极值,x0为极值点.已知a∈R,函数f(x)=lnx-a(x-1).
(Ⅰ)若a=
1
e-1
,求函数y=|f(x)|的极值点;
(Ⅱ)若不等式f(x)≤-
ax2
e2
+
(1+2a-ea)x
e
恒成立,求a的取值范围.
(e为自然对数的底数)
答案

(Ⅰ)若a=

1
e-1
,则f(x)=lnx-
x-1
e-1
f′(x)=
1
x
-
1
e-1

当x∈(0,e-1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;

当x∈(e-1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.…(2分)

又因为f(1)=0,f(e)=0,所以

当x∈(0,1)时,f(x)<0;当x∈(1,e-1)时,f(x)>0;

当x∈(e-1,e)时,f(x)>0;当x∈(e,+∞)时,f(x)<0.…(4分)

故y=|f(x)|的极小值点为1和e,极大值点为e-1.…(6分)

(Ⅱ)不等式f(x)≤-

ax2
e2
+
(1+2a-ea)x
e

整理为lnx+

ax2
e2
-
(1+2a)x
e
+a≤0.…(*)

g(x)=lnx+

ax2
e2
-
(1+2a)x
e
+a,

g′(x)=

1
x
+
2ax
e2
-
1+2a
e
(x>0)=
2ax2-(1+2a)ex+e2
e2x
=
(x-e)(2ax-e)
e2x
.…(8分)

①当a≤0时,2ax-e<0,又x>0,所以,

当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)递增;

当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)递减.

从而g(x)max=g(e)=0.

故,g(x)≤0恒成立.…(11分)

②当a>0时,g′(x)=

(x-e)(2ax-e)
e2x
=(x-e)(
2a
e2
-
1
ex
)

2a
e2
-
1
ex
=
a
e2
,解得x1=
e
a
,则当x>x1时,
2a
e2
-
1
ex
a
e2

再令(x-e)

a
e2
=1,解得x2=
e2
a
+e
,则当x>x2时,(x-e)
a
e2
>1

取x0=max(x1,x2),则当x>x0时,g'(x)>1.

所以,当x∈(x0,+∞)时,g(x)-g(x0)>x-x0,即g(x)>x-x0+g(x0).

这与“g(x)≤0恒成立”矛盾.

综上所述,a≤0.…(14分)

单项选择题
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