设数列{an}前n项和为Sn，首项为x（x∈R），满足Sn=nan-n(n-1)

问题解答题

设数列{a_n}前n项和为S_n，首项为x（x∈R），满足Sn=nan-

n(n-1)

，n∈N₊．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）求证：若数列{a_n}中存在三项构成等比数列，则x为有理数．

答案

（1）由S_n=nan-

n(n-1)

（n∈N^*）得：S_n+1=nan+1-

n(n+1)

，

∴S_n+1-S_n=a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-n，

∴a_n+1-a_n=1，又数列{a_n}首项为x，

则数列{a_n}是首项为x，公差为1的等差数列；

（2）若三个不同的项x+i，x+j，x+k成等比数列，且i＜j＜k，

则（x+j）²=（x+i）（x+k），即x（i+k-2j）=j²-ik，

若i+k-2j=0，则j²-ik=0，

∴i=j=k与i＜j＜k矛盾，

则i+k-2j≠0，

∴x=

j 2-ik

i+k-2j

，且i，j，k都是非负数，

∴x是有理数．