问题 填空题

已知函数f(x)和g(x)的定义域都是实数集R,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,g(-2)=0,则不等式f(x)g(x)>0的解集是______.

答案

因 f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,即[f(x)g(x)]'>0

故f(x)g(x)在x<0时递增,

又∵f(x),g(x)分别是定义R上的奇函数和偶函数,

∴f(x)g(x)为奇函数,关于原点对称,所以f(x)g(x)在x>0时也是增函数.

∵f(2)g(2)=0,∴f(-2)g(-2)=0

所以f(x)g(x)>0的解集为:0<x<2或x>2

故答案为(-2,0)∪(2,+∞).

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