问题
解答题
已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(
（1）求f(
（2）求证：f（x）为奇函数且是周期函数． |
答案
（1）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=
，y=π 4
，得f(π 4
+π 4
)+f(π 4
-π 4
)=2f(π 4
)cosπ 4
，π 4
即f(
)+f(0)=π 2
f(2
)，…（3分）π 4
又已知f(0)=0，f(
)=1，π 2
所以f(
)=π 4
．…（4分）2 2
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=π，y=
，得f(π+π 2
)+f(π-π 2
)=2f(π)cosπ 2
，π 2
即f(
)+f(3π 2
)=0，…（7分）π 2
又已知f(
)=1，π 2
所以f(
)=-1．…（8分）3π 2
证明：（2）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=0，
得f（0+y）+f（0-y）=2f（0）cosy，
又已知f（0）=0，
所以f（y）+f（-y）=0，
即f（-y）=-f（y），
f（x）为奇函数．…（11分）
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取y=
，得f(x+π 2
)+f(x-π 2
)=0，π 2
于是有f(x+
)+f(x+3π 2
)=0，π 2
所以f(x+
)=f(x-3π 2
)，π 2
即f（x+2π）=f（x），
f（x）是周期函数．…（14分）