问题
解答题
设函数f（x）=ax+lnx，g（x）=a2x2；
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）图象上的点到直线x-y+3=0距离的最小值；
（2）是否存在正实数a，使得不等式f（x）≤g（x）对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案
（1）由f（x）=-x+lnx，得f′(x)=-1+
，令f'（x）=1，得x=1 x 1 2
∴所求距离的最小值即为P(
，f(1 2
))到直线x-y+3=0的距离1 2
d=
=|
-(-1 2
-ln2)+3|1 2 2
(4+ln2)1 2 2
（2）假设存在正数a，令F（x）=f（x）-g（x）（x＞0），则F（x）max≤0
由F′(x)=a+
-2a2x=0得x=1 x
∵x＞1 a
时，F′（x）＜0，1 a
∴F（x）为减函数；
当0＜x＜
时，F′（x）＞0，1 a
∴F（x）为增函数
∴F(x)max=F(
)1 a
∴ln
≤0即a≥11 a
所以a的取值范围是[1，+∞）