（1）由题意f （a_n）=m²•m^n-1，即m^a_n=mⁿ⁺¹．

∴a_n=n+1，∴a_n+1-a_n=1，∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．

（2）由题意b_n=a_nf （a_n）=（n+1）•mⁿ⁺¹，

当m=3时，b_n=（n+1）•3ⁿ⁺¹，∴S_n=2•3²+3•3³+4•3⁴+…+（n+1）•3ⁿ⁺¹…①，

①式两端同乘以3得，3S_n=2•3³+3•3⁴+4•3⁵+…+（n+1）•3ⁿ⁺²…②

②-①并整理得，

2S_n=-2•3²-3³-3⁴-3⁵-…-3ⁿ⁺¹+（n+1）•3ⁿ⁺²=-3²-（3²+3³+3⁴+3⁵+…+3ⁿ⁺¹）+（n+1）•3ⁿ⁺²

=-32-

32(1-3n)

1-3

+（n+1）•3ⁿ⁺²=-9+

9

2

 （1-3ⁿ）+（n+1）•3ⁿ⁺²=（n+

1

2

）3ⁿ⁺²-

9

2

．

∴S_n=

1

4

（2n+1）3ⁿ⁺²-

9

4

．

（3）由题意c_n=f （a_n）•lg f （a_n）=mⁿ⁺¹•lgmⁿ⁺¹=（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm，

要使c_n≥c_n+1对一切n∈N*成立，即（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm≥（n+2）•mⁿ⁺²•lgm，对一切n∈N^*成立，

当m＞1时，lgm＞0，所以n+1≥m（n+2），即m≤

n+1

n+2

对一切n∈N^*成立，

因为

n+1

n+2

=1-

1

n+2

的最小值为

2

3

，所以m≤

2

3

，与m＞1不符合，即此种情况不存在．

②当0＜m＜1时，lgm＜0，所以n+1≤m（n+2），即m≥

n+1

n+2

对一切n∈N^*成立，所以

2

3

≤m＜1．

综上，当

2

3

≤m＜1时，数列{c_n}中每一项恒不小于它后面的项．