（1）f（x）=x³-2ax²+a²x 令f'（x）=3x²-4ax+a²=0，

得：x₁=

a

3

，x₂=a．（2分）

1° 当a＞0 时，x₁＜x₂

∴所求单调增区间是(-∞，

a

3

)，（a，+∞），单调减区间是（

a

3

，a ）

2° 当a＜0 时，所求单调增区间是（-∞，a），(

a

3

，+∞)，单调减区间是（a，

a

3

）

3° 当a=0 时，f'（x）=3x²≥0 所求单调增区间是（-∞，+∞）．（5分）

（2）f（x）=x³-（a+b）x²+abx∴f'（x）=3x²-2（a+b）x+ab，

∵当x∈[-1，1]时，恒有|f'（x）|≤

3

2

∴-

3

2

≤f′(1)≤

3

2

，-

3

2

≤f′(-1)≤

3

2

，-

3

2

≤f′(0)≤

3

2

，（8分）即

- 3 2 ≤3-2(a+b)+ab≤ 3 2 - 3 2 ≤3+2(a+b)+ab≤ 3 2 - 3 2 ≤ab≤ 3 2

得

ab=- 3 2 a+b=0

此时，满足当x∈[-1，1]时|f′(x)|≤

3

2

恒成立．

∴f(x)=x3-

3

2

x．（10分）

（3）存在a，b，使得

OA

•

OB

=  0，则m•n+f（m）•f（n）=0

∴mn+mn（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=0由于0＜a＜b，知mn≠0

∴（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=-1＜BR＞①由题设，m，n是f'（x）=0的两根

∴m+n=

2(a+b)

3

，mn=

ab

3

②（12分）②代入①得：ab（a-b）²=9

∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥2

36

=12，当且仅当ab=

3

2

时取“=”

∴a+b≥2

3

∵a+b≤2

3

∴a+b=2

3

又∵ab=

3

2

，0＜a＜b∴a=

2 3 - 6

2

，b=

2 3 + 6

2

．（16分）