问题 解答题
已知函数f(x)=ax4+bx2+cx+1(a,b,c∈R),在x=-1处取得极值-
1
4
,在x=-2处的切线与直线x-8y=0垂直.
(1)求常数a,b,c的值;
(2)对于函数h(x)和g(x),若存在常数k,m,对于任意x∈R,不等式h(x)≥kx+m≥g(x)都成立,则称直线y=kx+m是函数h(x),g(x)的分界线,求函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+1的“分界线”方程.
答案

(1)f'(x)=4ax3+2bx+c,

由条件得到:

-4a-2b+c=0
a+b-c+1=-
1
4
-32a-4b+c=-8

得到:

a=
1
4
b=
1
2
c=2
(6分)

(2)依题意

1
4
x4+
1
2
x2+2x+1≥kx+m≥-x2+2x+1恒成立,

令x=0,则1≥m≥1,所以m=1,(8分)

因此:kx+1≥-x2+2x+1恒成立,即x2+(k-2)x≥0恒成立,

由△≤0得到:k=2,(10分)

又因为:f(x)-(2x+1)=

1
4
x4+
1
2
x2≥0,所以f(x)≥2x+1恒成立,

所以:函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+1的分界线方程是y=2x+1.(12分)

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