问题
解答题
已知函数f(x)=ax4+bx2+cx+1(a,b,c∈R),在x=-1处取得极值-
(1)求常数a,b,c的值; (2)对于函数h(x)和g(x),若存在常数k,m,对于任意x∈R,不等式h(x)≥kx+m≥g(x)都成立,则称直线y=kx+m是函数h(x),g(x)的分界线,求函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+1的“分界线”方程. |
答案
(1)f'(x)=4ax3+2bx+c,
由条件得到:
,-4a-2b+c=0 a+b-c+1=- 1 4 -32a-4b+c=-8
得到:
(6分)a= 1 4 b= 1 2 c=2
(2)依题意
x4+1 4
x2+2x+1≥kx+m≥-x2+2x+1恒成立,1 2
令x=0,则1≥m≥1,所以m=1,(8分)
因此:kx+1≥-x2+2x+1恒成立,即x2+(k-2)x≥0恒成立,
由△≤0得到:k=2,(10分)
又因为:f(x)-(2x+1)=
x4+1 4
x2≥0,所以f(x)≥2x+1恒成立,1 2
所以:函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+1的分界线方程是y=2x+1.(12分)