（1）∵不妨设P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，∠F₁PF₂=45°，

∴|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，

在△F₁PF₂中，由余弦定理得：

|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂

=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos45°

=4a²-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|×

2

2

=4c²，

∴|PF₁|•|PF₂|=

4(a2-c2)

2+ 2

，

又PF1•PF2≤(

PF1+PF2

2

)2=a²，

∴

4(a2-c2)

2+ 2

≤a2，解得e²≥

2- 2

4

，

∴e≥

2- 2

2

，又e＜1，

∴椭圆的离心率的取值范围[

2- 2

2

，1）．

（2）由（1）知，|PF₁|•|PF₂|=

4(a2-c2)

2+ 2

，

S_△F1PF2=

1

2

PF₁•PF₂•sin45°=

1

2

4(a2-c2)

2+ 2

×

2

2

=（

2

-1）b²，

即：△F₁PF₂的面积与椭圆的短轴长有关．