一只球放在桌面上，桌面上一点A的正上方有一点光源O，OA与球相切

问题填空题

一只球放在桌面上，桌面上一点A的正上方有一点光源O，OA与球相切，让A在桌面上运动，OA始终与球相切，OA形成一个轴截面顶角为45°的圆锥，则点A的轨迹椭圆的离心率为______．

答案

如图是过圆锥的轴与椭圆长轴AA′的截面，根据圆锥曲线的定义，

可得球与长轴AA′的切点是椭圆的焦点F，OA⊥AA′

设光线OA与球相切于点E，OA′与球相切于点D

∵等腰直角三角形AOA′中，OA=AA′=

OA^{/
∴AF=AE=
1
2
（OA+AA′-OA′）=AA′-
2
2AA′=（1-
2
2）AA′
根据椭圆的几何性质，得长轴AA′=2a，
AF是焦点到长轴顶点的距离AF=a-c
代入到上式，得a-c=（1-
2
2
）•2a⇒c
a
=
2
-1
所以所求椭圆的离心率为
2
-1
故答案为：
2
-1}