问题 解答题
设函数f(x)=
ax2+1
bx+c
是奇函数,(a,b,c都是整数),且f(1)=2,f(2)<3,f(x)在[1,+∞)上单调递增.
(1)求a,b,c的值;
(2)当x<0时,f(x)的单调性如何?证明你的结论.
答案

(1)∵f(x)为奇函数,

故f(x)的定义域关于原点对称

又f(x)的定义域为{x|x≠-

c
b
}(显然b≠0,否则f(x)为偶函数)

-

c
b
=0,即c=0

于是得f(x)=

a
b
x+
1
bx
,且
a+1
b
=2
4a+1
2b
<3

8b-3
2b
<3

0<b<

3
2
又b∈Z

∴b=1

∴a=1

故a=b=1,c=0,符合f(x)在[1,+∞)上单调递增

(2)由(1)知f(x)=x+

1
x

f(x1)-f(x2)=x1+

1
x1
-x2-
1
x2
=(x1-x2)(1-
1
x1x2
)=
x1-x2
x1x2
(x1x2-1)

①当-1<x1<x2<0时,显然x1-x2<0,0<x1x2<1,x1x2-1<0

∴f(x1)-f(x2)>0

∴f(x)为减函数

②当x1<x2<-1时,显然x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0

∴f(x1)-f(x2)<0

∴f(x)为增函数

综上所述,f(x)在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,0)上是减函数.

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