依题意，前三项系数的绝对值是1，C¹_n（

1

2

），C²_n（

1

2

）²，

且2C¹_n•

1

2

=1+C²_n（

1

2

）²，

即n²-9n+8=0，∴n=8（n=1舍去），

∴展开式的第k+1项为C^k₈（

x

）^8-k（-

1

2 4 x

）^k

=（-

1

2

）^kC^k₈•x

8-k

2

•x-

k

4

=（-1）^k•C^k₈•x

16-3k

4

．

（1）证明：若第k+1项为常数项，

当且仅当

16-3k

4

=0，即3k=16，

∵k∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．

（2）若第k+1项为有理项，当且仅当

16-3k

4

为整数，

∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，

即展开式中的有理项共有三项，它们是：

T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2．