问题
解答题
函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,且对任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x)成立,当x∈(0,2]时,f(x)=-x2+1.
(Ⅰ)当x∈[4k-2,4k+2](k∈Z)时,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求不等式f(x)>-1的解集.
答案
(Ⅰ)当x=0时,∵f(0)=-f(0),∴f(0)=0.…(1分)
当x∈[-2,0)时,-x∈(0,2),f(x)=-f(-x)=x2-1 …(3分)
由f(x+4)=f(x),知y=f(x)又是周期为4的函数,所以当x∈[4k-2,4k]时,x-4k∈[-2,0)
∴f(x)=f(x-4k)=(x-4k)2-1,…(5分)
当x∈(4k,4k+2]时x-4k∈(0,2],∴f(x)=f(x-4k)=-(x-4k)2+1 …(7分)
故当x∈[4k-2,4k+2](k∈Z)时,函数f(x)的解析式为
|
(Ⅱ)当x∈(-2,2]时,由f(x>-1),得
|
|
解之,得-2<x<
2 |
∵函数y=f(x)的周期为4,∴f(x)>-1的解集为{x|4k-2<x<4k+
2 |