问题 解答题

函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,且对任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x)成立,当x∈(0,2]时,f(x)=-x2+1.

(Ⅰ)当x∈[4k-2,4k+2](k∈Z)时,求函数f(x)的解析式;

(Ⅱ)求不等式f(x)>-1的解集.

答案

(Ⅰ)当x=0时,∵f(0)=-f(0),∴f(0)=0.…(1分)

当x∈[-2,0)时,-x∈(0,2),f(x)=-f(-x)=x2-1                                 …(3分)

由f(x+4)=f(x),知y=f(x)又是周期为4的函数,所以当x∈[4k-2,4k]时,x-4k∈[-2,0)

∴f(x)=f(x-4k)=(x-4k)2-1,…(5分)

当x∈(4k,4k+2]时x-4k∈(0,2],∴f(x)=f(x-4k)=-(x-4k)2+1    …(7分)

故当x∈[4k-2,4k+2](k∈Z)时,函数f(x)的解析式为

(x-4k)2-1,x∈[4k-2,4k)
0          x=4k,(k∈Z)
-(x-4k)2+1,x∈(4k,4k+2]
      …(9分)

(Ⅱ)当x∈(-2,2]时,由f(x>-1),得

-2<x<0
x2-1>-1
,或
0<x≤2
-x2+1>-1
,或x=0.

解之,得-2<x<

2
,…(12分)

∵函数y=f(x)的周期为4,∴f(x)>-1的解集为{x|4k-2<x<4k+

2
}(k∈Z)…(14分)

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