证明：（1）：因为S_n=2a_n-3n，所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），

则a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，所以a_n+1=2a_n+3，

数列{a_n+3}是等比数列，

（2）由（1）知数列{a_n+3}是等比数列

又a₁=S₁=3，a₁+3=6，

∴a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，

所以a_n=3•2ⁿ-3．

（3）设存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差数列，则2a_p=a_s+a_r，即2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3

即2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s为偶数，而1+2^r-s为奇数，

所以2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在满足条件的三项