问题
解答题
定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（x，y∈R），且当x≠0时，f（x）≠0．
（Ⅰ）求证：f（0）=0；
（Ⅱ）证明：f（x）是偶函数，并求f（x）的表达式；
（III） 若f（x）+a＞ax对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
答案
（Ⅰ）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0，
∴f（0）=2f（0）
∴f（0）=0；
（Ⅱ）令x=y=1代入f（xy）=f（x）f（y）∴f（1）=f（1）2，
∵当x≠0时，f（x）≠0，
∴f（1）=1，
令y=x代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），
f（2x）=2f（x）+2x2，f（2x）=f（2）f（x），
∴f（2）f（x）=2f（x）+2x2，
∵f（2）=2f（1）+2=4，
∴f（x）=x2，f（-x）=f（x）
∴f（x）为偶函数．
（III）∵f（x）=x2，
∴由f（x）+a＞ax，得x2-ax+a＞0，
∴f（x）+a＞ax对任意x∈（1，+∞）恒成立，
等价于x2-ax+a＞0对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∵y=x2-ax+a的图象开口向上，对称轴方程是x=
，a 2
∴
≤1，解得a≤2．a 2
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．